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 [TS2-TS4]Dm spé maths n°2

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L14
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MessageSujet: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Dim 12 Oct - 21:22

Pour le Vendredi 17.10



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Bicolt
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mar 14 Oct - 20:29

Je commence à regarder le DM mais je ne sais pas trop comment comprendre la première question du premier exo (112p36) :
"x et y désignent des entiers relatifs
1. (E) est l'équation diophantienne (voir livre) 5x² + y² = 45
a) Donner un encadrement de x et de y. "

Il faut les encadrer séparément ? De quoi peut-on partir pour les encadrer ?
Voilà, je vais chercher un peu... Si vous avez des idées, n'hésitez pas Very Happy.

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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mar 14 Oct - 21:20

En fait une équation diophantienne c'est les équations qu'on fait depuis le début de l'année kwa Smile

En faisant passer 5 de l'autre coté on obtient x²+y²=9, je pense qu'il faut trouver un encadrement de x et y tel que x²+y²=9, non?

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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mar 14 Oct - 21:33

L14 a écrit:
En faisant passer 5 de l'autre coté on obtient x²+y²=9
ça fait plutôt x² + y²/5 = 9

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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mar 14 Oct - 21:47

Ah ouais, bah je vais chercher...

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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mar 14 Oct - 22:54

Bon en fait je pense qu'il faut partir de :
0 ≤ 5x² ≤ 45 et 0 ≤ y² ≤ 45 (car x² et y² positifs)

On arrive facilement à un encadrement assez resserré avec ça. Il vaut mieux arrondir pour y. Il faut aussi penser à faire 2 encadrements pour chacune des variables : un positif et un négatif.

Pour le b) il faut apparemment tester tous les cas possibles... (valeurs de x de -3 à 3) et ensuite éliminer les valeurs non entières de y.

[EDIT] Pour le 2), (E') : 2x² - y² = 5, je ne sais pas si ma solution est suffisante... scratch
Je pars de (E'), je divise par 5 et j'en conclus que 2x² - y² est congru à 5 (modulo 5) et donc à 0. En ajoutant y² j'arrive à dire que 2x² est congru à y², et je conclus qu'il n'y a pas de solutions car y est congru à √2 * x (mais ça je sais pas si on a le droit avec la racine carrée scratch ).
[EDIT] Ou sinon il faut peut être faire un tableau comme dans les exos qu'on a fait en classe, je vais essayer ça.
[EDIT] Bon j'y arrive pas... Je vais essayer de passer au 2e exercice...

Exercice 2 :

1) Pas besoin d'explications...

2) a) faire un tableau des différentes possibilités pour a (7). ( plusieurs calculs avec des modulo à faire )

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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mer 15 Oct - 19:04

Désolé du double-post mais j'ai l'impression que plus personne ne vient vois par ici (alors que j'arrête pas d'éditer mon message Smile)

Pour le 2) b) je suppose que, d'après la question précédente, k peut prendre les valeurs de 1 à 6. On divise donc 6 par k pour chacune des valeurs de k et on regarde si r est bien tel que ar congru à 1 (modulo 7). (encore quelques calculs avec modulo, il faut se servir parfois du a))

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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mer 15 Oct - 19:08

t'es sur pour lexo 1 car pour 5x^2 ok mais pour y^2 on demande un encadrement d'un entier relatif, or racine de 45 c pas un entier...
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mer 15 Oct - 19:15

Romé a écrit:
t'es sur pour lexo 1 car pour 5x^2 ok mais pour y^2 on demande un encadrement d'un entier relatif, or racine de 45 c pas un entier...

Ben justement il faut arrondir les valeurs, pour l'encadrement de y.
Comme c'est un entier relatif et que √45 ≈ 6,708... on arrondit à chaque fois à 6 (ou à -6). Ce qui donne à la fin -6 ≤ y ≤ 6
(De toute façon l'encadrement de y n'est pas très utile pour la suite...)

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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mer 15 Oct - 19:19

ok
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mer 15 Oct - 19:28

mais ça va prendre 2h la b) du 1 affraid
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mer 15 Oct - 19:34

nan en fait ça va

Enfin moi j'ai trouvé

x=3 (ou -3) quand y=1 (ou -1)
x=2 (ou -2) quand y=5 (ou -5)
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mer 15 Oct - 21:20

Pour tout récapituler clairement Very Happy je fais part de mes recherches:

Donc exo 112 p 36;

1) Il faut faire comme Bicolt a dit, c-a-d qu'il faut encadrer x puis y.
En b) il faut donc résoudre (E) en utilisant uniquement les valeurs de x (donc de -3 à 3 normalement). Vous trouverez des solutions de y et vous ne garderez que celles qui sont entières. (j'ai trouvé que ça marchait que pour x=3 ou -3 et x=2 ou -2)

2) Il suffit de faire comme en classe. C-a-d qu'il faut étudier la congruence de x en raisonnant modulo 5, en déduire x^2 et 2x^2. (sous forme de tableau / cf: exercice 97 p 35). Vous trouverez des valeurs qui ne sont pas égales a 5. Vous en conclurez que cette egalité (E') n'a pas de solutions. (car la division de 5 par 5 n'a pas le même reste que la division de 2x^2 + y^2 par 5, donc il n'y pas de solutions.... blabla mais ça sert a rien de le mettre ça ^^)

Voilà.

Exo2;

1) j'aimerais qu'on m'explique comment faire justement lol.

2) Donc il faut montrer que a^6 est congru à 1 modulo 7. Donc a est un entier naturel et n'est pas divisible par 7. On sait que tout entier naturel peut s'écrire sous la forme 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3, 4k+4.
On pose donc a=4k car 4k pas divisible par 7 pour tout k de Z.

a^6 = (4k)^6
a^6 = 4^6 * k^6

Or 4^6 -1 est divisible par 7. ==> 4^6 est congru a 1 modulo 7.

Donc on en deduis que 4^6 * k^6 est congru a 1 modulo 7 (k est un entier relatif).

a^6 est congru a 1 modulo 7. cheers

Le reste j'ai rien capté ^^".
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Mer 15 Oct - 23:19

Romé a écrit:
1) j'aimerais qu'on m'explique comment faire justement lol.
T'as juste à trouver 2 entiers relatifs qui vérifient an congru à 1 (modulo 7). n = 3 pour a = 2 et n = 6 pour n = 3 par exemple. Je pense qu'il n'y a pas besoin de démonstration.

Citation :
2) Donc il faut montrer que a^6 est congru à 1 modulo 7. Donc a est un entier naturel et n'est pas divisible par 7. On sait que tout entier naturel peut s'écrire sous la forme 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3, 4k+4.
On pose donc a=4k car 4k pas divisible par 7 pour tout k de Z.

a^6 = (4k)^6
a^6 = 4^6 * k^6

Or 4^6 -1 est divisible par 7. ==> 4^6 est congru a 1 modulo 7.

Donc on en deduis que 4^6 * k^6 est congru a 1 modulo 7 (k est un entier relatif).

a^6 est congru a 1 modulo 7. cheers
Je sais pas si c'est suffisant car tu n'étudies pas les autres possibilités pour a (4k+1, 4k+2...) alors que certains ne sont pas divisibles par 7.
Moi j'aurais plutôt fait un tableau. afin d'étudier toutes les congruences possibles de a et on voit alors qu'elles sont toutes égales à 1 pour a6.

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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Jeu 16 Oct - 0:12

ba on a qu'a démontrer avec les autres sauf 4k+3 mais c'est vrai qu'on peut faire comme tu dis, genre un tableau comme on a fait en cours ?
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Jeu 16 Oct - 15:43

perso pour lexo 112, j'ai un problème je trouve qu'avec le tableau qu'on avait fait en classe
il y a une solution 5x2 +y2 congrue a 0, or comme 5 est congrue a 0 modulo 5 il y a un probléme

donc si vous savez aidez

pour le 2 j'ai fait ça:

2)a) il faut faire le tableau avec les restes possibles par la division de 7
donc a congrue {1 ; 2 ; 3; 4 ;5 ;6} modulo 7
et après vous faite le tableau pour arriver à a6
et vous trouver bien que a6 congrue a 0 modulo 7

b)la division euclidienne de 6 par k s'écrit:
6= kq+r avec r appartenant à [0;k[
on sait que a 6 congrue 1 (modulo 7)
donc akq* ar congrue 1 (modulo 7)
or ak congrue 1 (modulo 7)
akq congrue 1 (modulo 7)

donc ar congrue 1 (modulo 7)

2c) on conclut de dessus que a6 congrue ar modulo 7
or k est le plus petit entier naturel tel que ak congrue 1 modulo 7
donc k est inférieur ou égale a r
il n'y a donc pas de reste dans la division euclidienne de 6 par k
c'est à dire k divise 6


bon voila pour le reste sa va tout seul (enfin preque)

si vous avez réussi le 112 dite
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shopynounette
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Jeu 16 Oct - 17:52

je ne comprend pas la question de l'exo 2 petit c) "Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6"...


ça veut dire quoi en français... je pense que la solution est facile à trouver mais ... encore faut-il comprendre la question ... :-)

merci d'avance!

zou'
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Jeu 16 Oct - 18:41

margo a écrit:
perso pour lexo 112, j'ai un problème je trouve qu'avec le tableau qu'on avait fait en classe
il y a une solution 5x2 +y2 congrue a 0, or comme 5 est congrue a 0 modulo 5 il y a un probléme
En fait cette solution correspond à x et y congrus à 0, donc x et y sont des multiples de 5. On pose donc x = 5k et y = 5k' et on repars de l'égalité du début égale à 5 en remplaçant x et y par les valeurs avec les k et k'. Ensuite on divise par 5, ce qui nous donne 10k² - 5k'² congru à 1 (modulo 5), or 1 congru à 1 (modulo 5) et 10k² - 5k'² congru à 0 (modulo 5). Donc il n'existe pas de valeurs k et k' solutions de (E') et donc pas de x et y...

margo a écrit:
et vous trouver bien que a6 congrue a 0 modulo 7
plutôt a6 congru à 1 modulo 7

margo a écrit:
donc akq* ar congrue 1 (modulo 7)
or ak congrue 1 (modulo 7)
akq congrue 1 (modulo 7)

donc ar congrue 1 (modulo 7)
Comment tu trouves la fin là ? scratch Tu divises par akq ? [EDIT] En fait je pense que c'est évident, y a pas vraiment besoin de justifier quand on sait que akq ≡ akq*ar (7)... En tout cas la méthode est mieux que le mienne Very Happy.

shopynounette a écrit:
je ne comprend pas la question de l'exo 2 petit c) "Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6"...

ça veut dire quoi en français... je pense que la solution est facile à trouver mais ... encore faut-il comprendre la question ... :-)k

Il faut trouver la plus petite valeur de k pour que ak soit congru à 1 modulo 7, pour chacune des valeurs de a entre 2 et 6.

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Dernière édition par Bicolt le Jeu 16 Oct - 19:31, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Jeu 16 Oct - 19:20

Pourquoi a^k congru à 1 (7) ???

[Edit]: Non en fait j'ai rien dis, bon raisonnement tongue
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Jeu 16 Oct - 19:37

Je reste sceptique sur la fin, comment en déduire que a^r congru à 1 (7) ??
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Jeu 16 Oct - 19:43

Romé a écrit:
Je reste sceptique sur la fin, comment en déduire que a^r congru à 1 (7) ??
On a akq ≡ akq*ar (7), donc la seule solution pour ar est ar = 1, soit ar congru à 1 modulo 7

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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Jeu 16 Oct - 19:49

moi j'ai fait un tableau... je suis pas une référence en maths mais Romaric a dit que c'était bon.
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MessageSujet: Re: [TS2-TS4]Dm spé maths n°2   Jeu 16 Oct - 19:55

mgx a écrit:
moi j'ai fait un tableau... je suis pas une référence en maths mais Romaric a dit que c'était bon.
Un tableau avec quoi ? (juste pour savoir, moi j'ai déjà tout recopié au propre Wink)

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