[TS2-TS4]Dm spé maths n°2

Je commence à regarder le DM mais je ne sais pas trop comment comprendre la première question du premier exo (112p36) :
"x et y désignent des entiers relatifs
1. (E) est l'équation diophantienne (voir livre) 5x² + y² = 45
a) Donner un encadrement de x et de y. "

Il faut les encadrer séparément ? De quoi peut-on partir pour les encadrer ?
Voilà, je vais chercher un peu... Si vous avez des idées, n'hésitez pas .

En fait une équation diophantienne c'est les équations qu'on fait depuis le début de l'année kwa

En faisant passer 5 de l'autre coté on obtient x²+y²=9, je pense qu'il faut trouver un encadrement de x et y tel que x²+y²=9, non?

L14 a écrit:

En faisant passer 5 de l'autre coté on obtient x²+y²=9

ça fait plutôt x² + y²/5 = 9

Ah ouais, bah je vais chercher...

Bon en fait je pense qu'il faut partir de :
0 ≤ 5x² ≤ 45 et 0 ≤ y² ≤ 45 (car x² et y² positifs)

On arrive facilement à un encadrement assez resserré avec ça. Il vaut mieux arrondir pour y. Il faut aussi penser à faire 2 encadrements pour chacune des variables : un positif et un négatif.

Pour le b) il faut apparemment tester tous les cas possibles... (valeurs de x de -3 à 3) et ensuite éliminer les valeurs non entières de y.

[EDIT] Pour le 2), (E') : 2x² - y² = 5, je ne sais pas si ma solution est suffisante...
Je pars de (E'), je divise par 5 et j'en conclus que 2x² - y² est congru à 5 (modulo 5) et donc à 0. En ajoutant y² j'arrive à dire que 2x² est congru à y², et je conclus qu'il n'y a pas de solutions car y est congru à √2 * x (mais ça je sais pas si on a le droit avec la racine carrée ).
[EDIT] Ou sinon il faut peut être faire un tableau comme dans les exos qu'on a fait en classe, je vais essayer ça.
[EDIT] Bon j'y arrive pas... Je vais essayer de passer au 2e exercice...

Exercice 2 :

1) Pas besoin d'explications...

2) a) faire un tableau des différentes possibilités pour a (7). ( plusieurs calculs avec des modulo à faire )

Désolé du double-post mais j'ai l'impression que plus personne ne vient vois par ici (alors que j'arrête pas d'éditer mon message )

Pour le 2) b) je suppose que, d'après la question précédente, k peut prendre les valeurs de 1 à 6. On divise donc 6 par k pour chacune des valeurs de k et on regarde si r est bien tel que a^r congru à 1 (modulo 7). (encore quelques calculs avec modulo, il faut se servir parfois du a))

t'es sur pour lexo 1 car pour 5x^2 ok mais pour y^2 on demande un encadrement d'un entier relatif, or racine de 45 c pas un entier...

Romé a écrit:

t'es sur pour lexo 1 car pour 5x^2 ok mais pour y^2 on demande un encadrement d'un entier relatif, or racine de 45 c pas un entier...

Ben justement il faut arrondir les valeurs, pour l'encadrement de y.
Comme c'est un entier relatif et que √45 ≈ 6,708... on arrondit à chaque fois à 6 (ou à -6). Ce qui donne à la fin -6 ≤ y ≤ 6
(De toute façon l'encadrement de y n'est pas très utile pour la suite...)

ok

mais ça va prendre 2h la b) du 1

nan en fait ça va

Enfin moi j'ai trouvé

x=3 (ou -3) quand y=1 (ou -1)
x=2 (ou -2) quand y=5 (ou -5)

Pour tout récapituler clairement je fais part de mes recherches:

Donc exo 112 p 36;

1) Il faut faire comme Bicolt a dit, c-a-d qu'il faut encadrer x puis y.
En b) il faut donc résoudre (E) en utilisant uniquement les valeurs de x (donc de -3 à 3 normalement). Vous trouverez des solutions de y et vous ne garderez que celles qui sont entières. (j'ai trouvé que ça marchait que pour x=3 ou -3 et x=2 ou -2)

2) Il suffit de faire comme en classe. C-a-d qu'il faut étudier la congruence de x en raisonnant modulo 5, en déduire x^2 et 2x^2. (sous forme de tableau / cf: exercice 97 p 35). Vous trouverez des valeurs qui ne sont pas égales a 5. Vous en conclurez que cette egalité (E') n'a pas de solutions. (car la division de 5 par 5 n'a pas le même reste que la division de 2x^2 + y^2 par 5, donc il n'y pas de solutions.... blabla mais ça sert a rien de le mettre ça ^^)

Voilà.

Exo2;

1) j'aimerais qu'on m'explique comment faire justement lol.

2) Donc il faut montrer que a^6 est congru à 1 modulo 7. Donc a est un entier naturel et n'est pas divisible par 7. On sait que tout entier naturel peut s'écrire sous la forme 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3, 4k+4.
On pose donc a=4k car 4k pas divisible par 7 pour tout k de Z.

a^6 = (4k)^6
a^6 = 4^6 * k^6

Or 4^6 -1 est divisible par 7. ==> 4^6 est congru a 1 modulo 7.

Donc on en deduis que 4^6 * k^6 est congru a 1 modulo 7 (k est un entier relatif).

a^6 est congru a 1 modulo 7.

Le reste j'ai rien capté ^^".

Romé a écrit:

1) j'aimerais qu'on m'explique comment faire justement lol.

T'as juste à trouver 2 entiers relatifs qui vérifient aⁿ congru à 1 (modulo 7). n = 3 pour a = 2 et n = 6 pour n = 3 par exemple. Je pense qu'il n'y a pas besoin de démonstration.

Citation :

2) Donc il faut montrer que a^6 est congru à 1 modulo 7. Donc a est un entier naturel et n'est pas divisible par 7. On sait que tout entier naturel peut s'écrire sous la forme 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3, 4k+4.
On pose donc a=4k car 4k pas divisible par 7 pour tout k de Z.

a^6 = (4k)^6
a^6 = 4^6 * k^6

Or 4^6 -1 est divisible par 7. ==> 4^6 est congru a 1 modulo 7.

Donc on en deduis que 4^6 * k^6 est congru a 1 modulo 7 (k est un entier relatif).

a^6 est congru a 1 modulo 7.

Je sais pas si c'est suffisant car tu n'étudies pas les autres possibilités pour a (4k+1, 4k+2...) alors que certains ne sont pas divisibles par 7.
Moi j'aurais plutôt fait un tableau. afin d'étudier toutes les congruences possibles de a et on voit alors qu'elles sont toutes égales à 1 pour a⁶.

ba on a qu'a démontrer avec les autres sauf 4k+3 mais c'est vrai qu'on peut faire comme tu dis, genre un tableau comme on a fait en cours ?

perso pour lexo 112, j'ai un problème je trouve qu'avec le tableau qu'on avait fait en classe
il y a une solution 5x² +y² congrue a 0, or comme 5 est congrue a 0 modulo 5 il y a un probléme

donc si vous savez aidez

pour le 2 j'ai fait ça:

2)a) il faut faire le tableau avec les restes possibles par la division de 7
donc a congrue {1 ; 2 ; 3; 4 ;5 ;6} modulo 7
et après vous faite le tableau pour arriver à a⁶
et vous trouver bien que a⁶ congrue a 0 modulo 7

b)la division euclidienne de 6 par k s'écrit:
6= kq+r avec r appartenant à [0;k[
on sait que a ⁶ congrue 1 (modulo 7)
donc a^kq* a^r congrue 1 (modulo 7)
or a^k congrue 1 (modulo 7)
a^kq congrue 1 (modulo 7)

donc a^r congrue 1 (modulo 7)

2c) on conclut de dessus que a⁶ congrue a^r modulo 7
or k est le plus petit entier naturel tel que a^k congrue 1 modulo 7
donc k est inférieur ou égale a r
il n'y a donc pas de reste dans la division euclidienne de 6 par k
c'est à dire k divise 6


bon voila pour le reste sa va tout seul (enfin preque)

si vous avez réussi le 112 dite

je ne comprend pas la question de l'exo 2 petit c) "Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6"...


ça veut dire quoi en français... je pense que la solution est facile à trouver mais ... encore faut-il comprendre la question ... :-)

merci d'avance!

zou'

margo a écrit:

perso pour lexo 112, j'ai un problème je trouve qu'avec le tableau qu'on avait fait en classe
il y a une solution 5x² +y² congrue a 0, or comme 5 est congrue a 0 modulo 5 il y a un probléme

En fait cette solution correspond à x et y congrus à 0, donc x et y sont des multiples de 5. On pose donc x = 5k et y = 5k' et on repars de l'égalité du début égale à 5 en remplaçant x et y par les valeurs avec les k et k'. Ensuite on divise par 5, ce qui nous donne 10k² - 5k'² congru à 1 (modulo 5), or 1 congru à 1 (modulo 5) et 10k² - 5k'² congru à 0 (modulo 5). Donc il n'existe pas de valeurs k et k' solutions de (E') et donc pas de x et y...

margo a écrit:

et vous trouver bien que a6 congrue a 0 modulo 7

plutôt a⁶ congru à 1 modulo 7

margo a écrit:

donc akq* ar congrue 1 (modulo 7)
or ak congrue 1 (modulo 7)
akq congrue 1 (modulo 7)

donc ar congrue 1 (modulo 7)

Comment tu trouves la fin là ? Tu divises par a^kq ? [EDIT] En fait je pense que c'est évident, y a pas vraiment besoin de justifier quand on sait que a^kq ≡ a^kq*a^r (7)... En tout cas la méthode est mieux que le mienne .

shopynounette a écrit:

je ne comprend pas la question de l'exo 2 petit c) "Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6"...

ça veut dire quoi en français... je pense que la solution est facile à trouver mais ... encore faut-il comprendre la question ... :-)k

Il faut trouver la plus petite valeur de k pour que a^k soit congru à 1 modulo 7, pour chacune des valeurs de a entre 2 et 6.

Pourquoi a^k congru à 1 (7) ???

[Edit]: Non en fait j'ai rien dis, bon raisonnement

Je reste sceptique sur la fin, comment en déduire que a^r congru à 1 (7) ??

Romé a écrit:

Je reste sceptique sur la fin, comment en déduire que a^r congru à 1 (7) ??

On a a^kq ≡ a^kq*a^r (7), donc la seule solution pour a^r est a^r = 1, soit a^r congru à 1 modulo 7

moi j'ai fait un tableau... je suis pas une référence en maths mais Romaric a dit que c'était bon.

mgx a écrit:

moi j'ai fait un tableau... je suis pas une référence en maths mais Romaric a dit que c'était bon.

Un tableau avec quoi ? (juste pour savoir, moi j'ai déjà tout recopié au propre )