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 [TS4]DM n°3 pour le 14/10/08

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Bicolt
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MessageSujet: [TS4]DM n°3 pour le 14/10/08   Ven 10 Oct - 20:31

Enoncé :

Téléchargement de l'énoncé (meilleure qualité) : DM 3

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Bicolt - Modérateur TS4
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Bicolt
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MessageSujet: Réponses   Ven 10 Oct - 20:49

Exercice 1
    1. Il suffit de dériver la fonction (en se rappelant bien que exp(x)=exp'(x)), ensuite, on construit un tableau de signes pour la dérivée (exp(0)=1), et enfin on en déduit les variations de la fonction.

    2. D'après le tableau, on peut en déduire le signe de la fonction (puisqu'elle admet un minimum), et on pose alors une inégalité, avec laquelle on obtient facilement le résultat demandé.

    3. Alors là ça se complique. D'après ce que j'ai trouvé sur le net (non, c'est pas de la triche Wink), on part du [1] en considérant une autre variable, t (réelle et supérieure à -1), ce qui donne : 1 + t ≤ et, et on pose alors t=-x (d'où x inférieur à 1), ensuite on remplace tout les t par -x et on obtient 1 - x ≤ e-x. A partir de là, il faut faire quelques calculs pour arriver au résultat voulu.


    1. Le but de cette question est de trouver une nouvelle valeur pour x, avec n si possible, pour arriver au résultat demandé. Pensez à la puissance x de la fonction exponentielle qui a disparut et de la puissance n de l'autre coté.
      (Apparemment c'est pas très clair, donc je donne direct la valeur pour x : 1/n)

    2. Pareil que pour le a), il faut trouver une valeur pour remplacer x.
      (Si vous avez compris le a) je pense que vous trouverez vous-même la valeur)


    1. Première partie de l'inégalité facile à trouver à partir du 2)a). La deuxième partie peut-être trouvée à partir du 2)b). L'expression e - un ≤ (1 + 1/n)n+1 - (1 + 1/n)n peut être factorisée, puis majorée (d'après le 2)a) et d'après la valeur de e, qui est inférieure à 3).

    2. Théorème des gendarmes pour la limite de e - un. On en déduit donc facilement la limite de (un).


Exercice 2
  1. La fonction dn est la différence de la fonction exponentielle, dérivable sur IR, et de (1/n!)xn, dérivable sur IR+ car xn est dérivable sur IR+(n appartient à IN*).
    On en déduit que dn est dérivable sur IR+.
    Ensuite il suffit de calculer la dérivée de dn, en prenant en compte que la variable ici est x, on garde donc les n tels quels. Un petit calcul avec la fraction 1/n! et on arrive à dn-1.

  2. Pn : dn(x) > 0

    (1) Initialisation (Je n'ai pas trouvé de méthode plus simple)
    Le premier terme de dn(x) est d1(x) = ex - (1/1!)x1 = ex - x. Comme je n'arrive pas à prouver que cette expression est supérieure à 0, je suis passé par la dérivée de d1(x), soit d0(x) d'après l'énoncé. On trouve le signe de d0(x), puis on en déduit les variations de d1(x). D'après le sens de variation de la fonction sur son ensemble de définition, on en déduit qu'elle a un minimum, et comme celui-ci est strictement supérieure à 0, d1(x) est strictement supérieure à 0. Donc P1 est vraie.

    (2) Hérédité
    hypothèse de récurrence : dn(x) > 0
    C'est a peu près pareil que le (1) : on prend d'n+1=dn. D'après l'hypothèse de récurrence on trouve le signe de dn, d'où le sens de variation de dn+1. Il y a donc un minimum. Celui-ci est strictement supérieur à 0. dn+1(x) > 0.
    Donc Pn+1 est vraie.

    De (1) et (2) on déduit que... (et caetera Smile)

    Concluez sur ex > (1/n!)xn

Fini !

Si vous avez des questions, n'hésitez pas Wink. Si vous ne comprenez pas ce que j'ai fait ou si vous voulez plus d'explications, je pourrais aussi vous aider.

[Mise à jour : 11/10/08] Suite et fin du DM

PS : N'oubliez pas de bien rédiger : utilisez toujours des équivalences, indiquez l'ensemble de définition des variables et des fonctions, expliquez vos calculs... En résumé : soyez rigoureux ! Wink

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Bicolt - Modérateur TS4
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Dernière édition par Bicolt le Dim 12 Oct - 20:10, édité 11 fois
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Sabristi
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MessageSujet: re...pas   Ven 10 Oct - 21:45

Exercice 2 :
Trop facile, la flem de mettre les réponses afro
Quoique, faut commencer par mettre..... pig
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Bicolt
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MessageSujet: Fini   Sam 11 Oct - 18:04

Voilà, DM terminé !
Dites moi si j'ai fait des fautes ou si vous avez de meilleures méthodes Wink.

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biscotte
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MessageSujet: Re: [TS4]DM n°3 pour le 14/10/08   Sam 11 Oct - 20:54

pour la question 1c de lexo 1 comment tu as su qu'il fallait inventer une variable ?
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Bicolt
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MessageSujet: Re: [TS4]DM n°3 pour le 14/10/08   Dim 12 Oct - 0:16

biscotte a écrit:
pour la question 1c de lexo 1 comment tu as su qu'il fallait inventer une variable ?
Ben je l'ai marqué : j'ai cherché sur le net. Wink
L'exercice a déjà été en partie corrigé sur certains forums d'aide pour les maths.

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Bicolt - Modérateur TS4
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Wassdu94
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MessageSujet: Re: [TS4]DM n°3 pour le 14/10/08   Lun 13 Oct - 18:21

Tu déchires tout Nico!! Vraiment super bien expliqué sa aide beaucoup Very Happy
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MessageSujet: Re: [TS4]DM n°3 pour le 14/10/08   

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[TS4]DM n°3 pour le 14/10/08
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