[TS4]DM n°3 pour le 14/10/08

Enoncé :

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Exercice 1

1. 1. Il suffit de dériver la fonction (en se rappelant bien que exp(x)=exp'(x)), ensuite, on construit un tableau de signes pour la dérivée (exp(0)=1), et enfin on en déduit les variations de la fonction.
      
      
   2. D'après le tableau, on peut en déduire le signe de la fonction (puisqu'elle admet un minimum), et on pose alors une inégalité, avec laquelle on obtient facilement le résultat demandé.
      
      
   3. Alors là ça se complique. D'après ce que j'ai trouvé sur le net (non, c'est pas de la triche ), on part du [1] en considérant une autre variable, t (réelle et supérieure à -1), ce qui donne : 1 + t ≤ e^t, et on pose alors t=-x (d'où x inférieur à 1), ensuite on remplace tout les t par -x et on obtient 1 - x ≤ e^-x. A partir de là, il faut faire quelques calculs pour arriver au résultat voulu.
   
   
   
2. 1. Le but de cette question est de trouver une nouvelle valeur pour x, avec n si possible, pour arriver au résultat demandé. Pensez à la puissance x de la fonction exponentielle qui a disparut et de la puissance n de l'autre coté.
      (Apparemment c'est pas très clair, donc je donne direct la valeur pour x : 1/n)
      
      
   2. Pareil que pour le a), il faut trouver une valeur pour remplacer x.
      (Si vous avez compris le a) je pense que vous trouverez vous-même la valeur)
   
   
   
3. 1. Première partie de l'inégalité facile à trouver à partir du 2)a). La deuxième partie peut-être trouvée à partir du 2)b). L'expression e - u_n ≤ (1 + 1/n)ⁿ⁺¹ - (1 + 1/n)_n peut être factorisée, puis majorée (d'après le 2)a) et d'après la valeur de e, qui est inférieure à 3).
      
      
   2. Théorème des gendarmes pour la limite de e - u_n. On en déduit donc facilement la limite de (u_n).
   
   

Exercice 2

1. La fonction d_n est la différence de la fonction exponentielle, dérivable sur IR, et de (1/n!)xⁿ, dérivable sur IR⁺ car xⁿ est dérivable sur IR⁺(n appartient à IN*).
   On en déduit que d_n est dérivable sur IR⁺.
   Ensuite il suffit de calculer la dérivée de d_n, en prenant en compte que la variable ici est x, on garde donc les n tels quels. Un petit calcul avec la fraction 1/n! et on arrive à d_n-1.
   
   
2. P_n : d_n(x) > 0
   
   (1) Initialisation (Je n'ai pas trouvé de méthode plus simple)
   Le premier terme de d_n(x) est d₁(x) = e^x - (1/1!)x¹ = e^x - x. Comme je n'arrive pas à prouver que cette expression est supérieure à 0, je suis passé par la dérivée de d₁(x), soit d₀(x) d'après l'énoncé. On trouve le signe de d₀(x), puis on en déduit les variations de d₁(x). D'après le sens de variation de la fonction sur son ensemble de définition, on en déduit qu'elle a un minimum, et comme celui-ci est strictement supérieure à 0, d₁(x) est strictement supérieure à 0. Donc P₁ est vraie.
   
   (2) Hérédité
   hypothèse de récurrence : d_n(x) > 0
   C'est a peu près pareil que le (1) : on prend d'_n+1=d_n. D'après l'hypothèse de récurrence on trouve le signe de d_n, d'où le sens de variation de d_n+1. Il y a donc un minimum. Celui-ci est strictement supérieur à 0. d_n+1(x) > 0.
   Donc P_n+1 est vraie.
   
   De (1) et (2) on déduit que... (et caetera )
   
   Concluez sur e^x > (1/n!)xⁿ
   

Fini !

Si vous avez des questions, n'hésitez pas . Si vous ne comprenez pas ce que j'ai fait ou si vous voulez plus d'explications, je pourrais aussi vous aider.

[Mise à jour : 11/10/08] Suite et fin du DM

PS : N'oubliez pas de bien rédiger : utilisez toujours des équivalences, indiquez l'ensemble de définition des variables et des fonctions, expliquez vos calculs... En résumé : soyez rigoureux !

Voilà, DM terminé !
Dites moi si j'ai fait des fautes ou si vous avez de meilleures méthodes .

pour la question 1c de lexo 1 comment tu as su qu'il fallait inventer une variable ?

biscotte a écrit:

pour la question 1c de lexo 1 comment tu as su qu'il fallait inventer une variable ?

Ben je l'ai marqué : j'ai cherché sur le net.
L'exercice a déjà été en partie corrigé sur certains forums d'aide pour les maths.

Tu déchires tout Nico!! Vraiment super bien expliqué sa aide beaucoup